Question

Вычислить подробно интеграл

Answer 1

Если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных функций, то справедлива следующая формула для неопределенного интеграла, которая называется интегрированием по частям:

$\displaystyle \int\limits {u} \, dv = uv - \int\limits {v} \, du$

Вычислим неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\limits {(x + 5)^{2} \cos 2x} \, dx$

Сделаем соответствующую замену:

Пусть $(x+5)^2 = u$, тогда $du = 2(x+5)\, dx$, а $\cos 2x = dv$, тогда $v = \displaystyle \int\limits {\cos 2x} \, dx = \dfrac{1}{2} \sin 2x$ (константу $C$ опускаем).

Получаем:

$\dfrac{1}{2} (x+5)^{2}\sin 2x - \displaystyle \int\limits {\dfrac{1}{2}\sin 2x \cdot 2(x+5)} \, dx = \dfrac{1}{2} (x+5)^{2}\sin 2x - \int\limits {(x+5)\sin 2x} \, dx$

Сделаем еще одну соответствующую замену:

Пусть $x+5 = u$, тогда $du = dx$, а $\sin 2x = dv$, тогда $v = \displaystyle \int\limits {\sin 2x} \, dx = -\dfrac{1}{2} \cos 2x$ (константу $C$ опускаем).

Получаем:

$\displaystyle \dfrac{1}{2} (x+5)^{2}\sin 2x - \left(-\dfrac{1}{2}(x+5)\cos 2x - \int\limits {-\dfrac{1}{2}\cos 2x } \, dx \right)$

Вычисляем:

$\displaystyle \dfrac{1}{2} (x+5)^{2}\sin 2x +\dfrac{1}{2}(x+5)\cos 2x - \dfrac{1}{2} \int\limits {\cos 2x } \, dx =\\\\= \dfrac{1}{2} (x+5)^{2}\sin 2x +\dfrac{1}{2}(x+5)\cos 2x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C$

Ответ: $\dfrac{1}{2} (x+5)^{2}\sin 2x +\dfrac{1}{2}(x+5)\cos 2x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C$