Question

Найти наименьшее значение произведения (1+(x/y))(1+(y/z))(1+(z/x)) для положительных чисел x,y,z.

Answer 1

$\forall a,b >0\;\;\;\; 1+\dfrac{a}{b}\geq 2\sqrt{1*\dfrac{a}{b}}=2\sqrt{\dfrac{a}{b}}=>\\=>(1+\dfrac{x}{y})(1+\dfrac{y}{z})(1+\dfrac{z}{x})\geq 2\sqrt{\dfrac{x}{y}}*2\sqrt{\dfrac{y}{z}}*2\sqrt{\dfrac{z}{x}}=8$

При этом для

$x=y=z=1 \\ (1+\dfrac{x}{y})(1+\dfrac{y}{z})(1+\dfrac{z}{x})=(1+1)(1+1)(1+1)=8$

Ответ: 8