Question

ПОМОГИТЕ Решите уравнение :5√x^3+4x^2-2=5√x^2+4x-2

Answer 1

$5\sqrt{x^3+4x^2-2}=5\sqrt{x^2+4x-2$

$\sqrt{x^3+4x^2-2}=\sqrt{x^2+4x-2}$

Сделаем вид, что оба корня существуют, возведем обе части в квадрат, найдем корни, а потом проверим их прямой подстановкой.

Возводим в квадрат:

$x^3+4x^2-2=x^2+4x-2\\\\x^3-x^2+4x^2-4x-2+2=0\\\\x^2(x-1)+4x(x-1)=0\\\\(x-1)(x^2+4x)=0\\\\(x-1)x(x+4)=0$

Отсюда получаем три корня: $x=-4, x=0, x=1.$

Подставим их в исходное уравнение (разделенное на 5 для удобства):

$1) x=-4:\\\sqrt{(-4)^3+4\cdot(-4)^2-2}=\sqrt{(-4)^2+4\cdot(-4)-2}\\\\\sqrt{-64+64-2}=\sqrt{16-16-2}\\\\\sqrt{-2}=\sqrt{-2}$

Да, под корнем одинаковые числа. Однако, так как корень из отрицательного числа не определен на множестве действительных чисел, х = -4 не является корнем уравнения.

$2) x=0:\\\sqrt{ 0^3+4\cdot0^2-2}=\sqrt{0^2+4\cdot0-2}\\\\ \sqrt{-2}=\sqrt{-2}$

Аналогичная ситуация.  х = 0 не является корнем уравнения.

$3) x=1:\\\sqrt{1^3+4\cdot1^2-2}=\sqrt{1^2+4\cdot1-2}$

$\sqrt{3}=\sqrt{3}$ - верно. х = 1 - корень уравнения. К тому же, еще и единственный.

ОТВЕТ: {1}.