Question

5. Трапеция ABCD (AD|| ВС) вписана в окружность
AB = 13 см, AD = 14 см — большее основание, AC = 15 см
Найдите радиус этой окружности.​

Answer 1

Диагональ АС делит трапецию на два треугольника.

Вписать окружность можно только в равнобедренную трапецию.

Это значит, что СD = АВ = 13.

Площадь треугольника можно найти по таким формулам:

$S _{ \triangle } = \frac{abc}{4R}$, где a, b, c — его стороны, R — радиус описанной окружности. (Формула 1).

$S_\triangle = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где a, b, c — его стороны, р — полупериметр. Эта формула называется формулой Герона. (Формула 2).

Рассмотрим треугольник АСD.

СD = 13 см, AD = 14 см, AC = 15 см.

p = (13 + 14 + 15) : 2 = 42 : 2 = 21 (см).

Найдем площадь по Формуле 2:

$S _{\triangle ACD}= \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} =\sqrt{21\cdot8\cdot 7\cdot6 }$

Чтобы было удобнее извлечь корень, разложим каждое число под ним на простые множители.

$S _{\triangle ACD}= \sqrt{21\cdot8\cdot 7\cdot6 } = \sqrt{3\cdot 7 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} =\sqrt{3^2\cdot 2^4\cdot 7^2} =3\cdot 2^2 \cdot 7 = 84$ (см²).

Теперь подставим длины сторон треугольника АСD и найденную площадь в Формулу 1:

$\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4R} = 84$;

$\frac{2730}{4R} = 84$.

Отсюда, 4R = 2730 : 84 = 32,5.

R = 32,5 : 4 = 8,125 (см).

Ответ: 8,125 см.