Question

y=3x-ln(x-6)^3+9
Точка минимума

Answer 1

$y = 3x - \ln (x - 6)^{3} + 9$

ОДЗ: $x - 6 > 0; \ \ \ x > 6$

Найдем производную для заданной функции:

$y' = (3x - \ln (x - 6)^{3} + 9))' = 3 - \dfrac{1}{(x - 6)^{3}} \cdot 3(x - 6)^{2} = 3 - \dfrac{3}{x - 6}$

Найдем стационарные (критические) точки. Для этого приравняем производную к нулю:

$3 - \dfrac{3}{x - 6} = 0$

$\dfrac{3}{x - 6} = 3$

$3(x - 6) = 3$

$3x - 18 = 3$

$3x = 21$

$x = 7$

Следовательно, абсцисса $x = 7$ — возможно, абсцисса точки экстремума — точка, при переходе через которую производная меняет знак. Если производная меняет знак с "–" на "+", то это точка минимума, если производная меняет знак с "+" на "–", то это точка максимума.

Рассмотрим промежуток $x \in (6; \ 7)$:

Возьмем, например, абсциссу $x = 6,5$ и подставим ее в производную:

$y'(6,5) = 3 - \dfrac{3}{6,5 - 6} = 3 - \dfrac{3}{0,5} = 3 - 6 = -3 < 0$

Рассмотрим промежуток $x \in (7; +\infty)$:

Возьмем, например, абсциссу $x = 9$ и подставим ее в производную:

$y'(9) = 3 - \dfrac{3}{9 - 6} = 3 - \dfrac{3}{3} = 3 - 1 = 2 > 0$

Следовательно, $x = 7$ — абсцисса точки экстремума, а именно абсцисса точки минимума, так как производная меняет знак с "–" на "+". Тогда значение ординаты $y(7) = 3 \cdot 7 - \ln (7 - 6)^{3} + 9 = 21 - \ln 1 + 9 = 30$

Ответ: точка $(7; \ 30)$