Question

Найти наибольшее значение функции у=(cos(1/x)/(4cos^2(1/x)+1)

Answer 1

Задача равносильна нахождению наименьшего значения функции $f(t)=\dfrac{t}{4t^2+1}$ на отрезке $[-1;1]$

$f'(t)=\dfrac{1*(4t^2+1)-t(8t)}{(4t^2+1)^2}=\dfrac{(-4t^2+1)}{(4t^2+1)^2}=\dfrac{(1-2t)(1+2t)}{(4t^2+1)^2}\\ f'(t)=0<=>t=\pm\dfrac{1}{2}$

Знаки производной -1____-____-1/2____+____1/2____-_____1

Тогда для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения в точках -1 и 1/2

$f(-1)=-1/5\\ f(1/2)=\dfrac{\frac{1}{2}}{4*\frac{1}{4}+1}=\dfrac{1}{4}$

При этом $y(\dfrac{3}{\pi})=\dfrac{cos\dfrac{\pi}{3}}{4(cos\dfrac{\pi}{3})^2+1}=\dfrac{\frac{1}{2}}{4*\frac{1}{4}+1}=\dfrac{1}{4}$ - значение достигается исходной функцией по крайней мере в одной точке.

Ответ: $\dfrac{1}{4}$