Question

2cos^2(2x)-√3sin4x+sin2x-√3cos2x-5=0

Answer 1

$2cos^22x-\sqrt{3} sin4x+sin2x-\sqrt{3}cos2x-5=0$

так как

$sin4x=2sin2x\cdot cos2x$

и

$sin^22x+cos^22x=1$

то

$2cos^22x-2\sqrt{3} sin2x\cdot cos2x+sin2x-\sqrt{3}cos2x-5=0\\ \\sin^22x+cos^22x+2cos^22x-2\sqrt{3} sin2x\cdot cos2x+sin2x-\sqrt{3}cos2x-6=0\\\\ sin^22x-2\sqrt{3} sin2x\cdot cos2x+3cos^22x+(sin2x-\sqrt{3}cos2x)-6=0$

$( sin2x-\sqrt{3} cos2x)^2+(sin2x-\sqrt{3}cos2x)-6=0$

$D=1-4\cdot(-6)=25$

$sin2x-\sqrt{3} cos2x=-3$      или     $sin2x-\sqrt{3} cos2x=2$

Применяем метод вспомогательного угла

Делим каждое уравнение на 2:

$\frac{1}{2} sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2} cos2x=-\frac{3}{2}$   или  $\frac{1}{2} sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2} cos2x=1$

$sin(2x-\frac{\pi }{3})=-\frac{3}{2}$  или $sin(2x-\frac{\pi }{3})=1$

так как |sint|≤1  первое уравнение не имеет решений

$sin(2x-\frac{\pi }{3})=1\\ \\2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2} +2\pi k, k\in Z\\ \\ 2x=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2} +2\pi k, k\in Z\\\\2x=\frac{5\pi }{6}} +2\pi k, k\in Z\\\\x=\frac{5\pi }{12}} +\pi k, k\in Z$

это о т в е т.