Question

Вычислить предел (не по правилу Лопиталя)​

Answer 1

Домножим числитель и знаменатель на $3x^2$:    $\lim\limits_{x\to 0}\frac{3x^2(\cos2x-\cos5x)}{3x^2\sin3x^2}$

Теперь запишем наш предел как произведение пределов (каждый из них, разумеется, существует): $\lim\limits_{x\to0}\frac{3x^2}{\sin3x^2}\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos2x-\cos5x}{3x^2}$; Первый из них - это первый замечательный предел. Имеем: $\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos2x-\cos5x}{3x^2}$. Теперь запишем разность косинусов как произведение синусов: $\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin(7x/2)\sin(3x/2)}{3x^2}=\frac{2}{3} \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(7x/2)}{x}\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(3x/2)}{x}$; Теперь каждый из пределов-сомножителей можно подогнать к замечательному пределу:

$\frac{2}{3} \lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{7}{2} \sin(7x/2)}{\frac{7}{2} x}\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{3}{2} \sin(3x/2)}{\frac{3}{2} x}=\frac{2}{3}\frac{7}{2}\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$

Ответ: $\frac{7}{2}$