Question

${10}^{n} + 18n - 1$
Докажите, что при любом n эта формула крата 27​

Answer 1

Докажем это методом математической индукции.

1. Пусть n=1:

$10^1+18\cdot1-1=10+18-1=27\ \vdots\ 27$ - верно

2. Пусть n=k. Предположим, что $(10^k+18k-1)$ кратно 27.

3. Пусть n=k+1. Докажем, что $(10^{k+1}+18(k+1)-1)$ кратно 27.

$10^{k+1}+18(k+1)-1=10\cdot10^k+18k+18-1=\\=9\cdot10^k+18+10^k+18k-1=9(10^k+2)+(10^k+18k-1)$

Первое слагаемое делится на 27, потому что, во-первых, есть сомножитель 9, а, во-вторых, скобка $(10^k+2)$ представляет собой число вида $10\ldots02$, которое делится на 3 по признаку делимости, значит все слагаемое делится на 3·9=27. Второе слагаемое делится на 27 по предположению, сделанному на втором шаге. Значит и вся сумма делится на 27.