Question

Теория вероятности функция ф(х)
Задание #6

Answer 1

а) Чтобы φ(x) была плотностью нужно:

$\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\varphi (x)} \, dx =1$   - условие нормированности.

Найдем интеграл: $\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\varphi (x)} \, dx = \int\limits^{\infty}_{2} {\frac{A}{x^6}} \, dx = -\frac{A}{5x^5}| \limits^{\infty}_{2} = -0 + \frac{A}{5*2^5}=\frac{A}{160} = 1$

Отсюда А=160

б) Функция распределения есть:

$F(x)=\int\limits^x_{-\infty} {\varphi (x')} \, dx'$

При x≤2: F(x)=0

При x>2: $F(x)=\int\limits^x_2 {\frac{160}{x'^6}} \, dx' = -\frac{160}{5}( \frac{1}{x^5} -\frac{1}{2^5}) = 1-\frac{32}{x^5}$

в) Искомая вероятность:

$P(x \in [3,4]) = \int\limits^4_3 {\frac{160}{x^6}} \, dx =-\frac{160}{5}(\frac{1}{4^5} - \frac{1}{3^5}) = -32 (\frac{1}{1024} - \frac{1}{243}) \simeq 0.1$

г) Мат. ожидание:

$M = \int\limits^{\infty}_{-\infty} {x \varphi(x)} \, dx = \int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{160}{x^4}} \, dx=0$

Дисперсия:

$D = \int\limits^{\infty}_{-\infty} {(x-M)^2 \varphi(x)} \, dx = \int\limits^{\infty}_{-\infty} {x^2 \varphi(x)} \, dx = \int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{160}{x^3}} \, dx=0$