Question

Помогите с логарифмическим неравенством из вложения, пожалуйста

Answer 1

ОДЗ:

{4x>0 ⇒ x>0

{32x>0 ⇒ x>0

{0,25x>0 ⇒ x>0

{log₂(32x)≠0⇒  32x≠1⇒x≠1/32

{log₂(0,25x)≠0⇒0,25x≠1⇒x≠4

ОДЗ: x ∈ (0;1/32) U (1/32;4) U (4;+ ∞ )

Так как в условиях ОДЗ:

$log^2_{2}(32x)>0$

и

$2^{log_{2}4x}=4x$

Неравенство принимает вид:

$\frac{14^{log_{2}4x}}{7\cdot(log_{2}0,25x)}\geq \frac{(4\cdot 4x)^{log_{2}4x}}{4\cdot ( log_{2}0,25x)}$

$\frac{1}{log_{2}0,25x}\cdot ( \frac{2^{log_{2}4x}\cdot 7^{log_{2}4x}}{7}- \frac{(4)^{log_{2}4x} \cdot (4x) ^{log_{2}4x}}{4})\geq 0$

$\frac{1}{log_{2}0,25x}\cdot ( 4x\cdot 7^{log_{2}4x-1}- 4^{log_{2}4x-1}\cdot (4x) ^{log_{2}4x})\geq 0$

$\frac{4x}{log_{2}0,25x}\cdot ( 7^{log_{2}4x-1}- 4^{log_{2}4x-1}\cdot (4x) ^{log_{2}4x-1})\geq 0$

Применяем метод интервалов.

Находим нули числителя:

$x=0$

не принадлежит ОДЗ

или

$7^{log_{2}4x-1}-4^{log_{2}4x-1} \cdot(4x) ^{log_{2}4x-1}=0$

$log_{2}4x-1=0\Rightarrow x=0,5$

или

$7=4 \cdot 4x\Rightarrow x=\frac{7}{16}$

Нули знаменателя найдены ранее ( см ОДЗ): х=4

(0) __+__ [$\frac{7}{16}$] ___-__ (4) __+__

C учетом ОДЗ  получаем ответ:

(0;1/32) U (1/32;$\frac{7}{16}$] U (4;+ ∞ )