Question

Помогите!!! Дано уравнение:
cos(8x)- cos(6x)+cos(4x)-cos(2x)=0
Вопросы...
1) Как сгруппировать по парам данное уравнение?
2) какой множитель можно вынести за скобки после группировки?
3) Если произведение трёх множителей
cos(2x)sin(5x)sin(x)=0, то как найти корни этого уравнения?

Answer 1

$(\cos8x+\cos4x)-(\cos6x+\cos2x)=0\\\\ 2\cos\frac{8x+4x}{2}\cos\frac{8x-4x}{2}-2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2}=0\\\\ 2\cos6x\cos2x-2\cos4x\cos2x=0\\\\2\cos2x(\cos6x-\cos4x)=0|:2\\\\ \cos2x(-2\sin\frac{6x+4x}{2}\sin\frac{6x-4x}{2})=0\\\\ -2\cos2x\sin5x\sin x=0|:(-2)\\\\\cos2x\sin5x\sin x=0$

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Наше уравнение разбивается на 3 случая: или $\cos2x=0$, или $\sin5x=0$, или $\sin x=0$:

$1) \cos2x=0\\2x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z;\\x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k, k\in Z.$

$2) \sin5x=0\\5x=\pi k, k \in Z\\x=\frac{\pi}{5}k,k\in Z$

$3)\sin x=0\\x=\pi k, k\in Z$

Заметим, что решения уравнений 2 и 3 можно объединить в единую серию  $x=\frac{\pi }{5}k, k\in Z$ (поскольку решение второго уравнения включает в себя все решения третьего уравнения).

Итоговый ответ - две серии точек: $x_1=\frac{\pi}{5}k, \in Z; x_2=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}k, k\in Z$

ОТВЕТ: $x_1=\frac{\pi}{5}k, \in Z; x_2=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}k, k\in Z$