Question

Вычисление площадей фигур

Answer 1

Для того чтобы высчитать площадь фигуры неразрывной функции $f(x)$ на некотором промежутке, следует воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница:

$\displaystyle \int\limits^a_b{f(x) } \, dx = F(x) \ \bigg|^{a}_{b} = F(a) - F(b)$

Здесь $a$ и $b$ — границы фигуры на оси абсцисс, $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$

$1) \ S = \displaystyle \int\limits^4_1 {\dfrac{4}{x} } \, dx = 4\ln |x| \ \bigg|^{4}_{1} = 4\ln 4 - 4\ln 1 = 4\ln 4$ квадратных единиц.

2) Здесь имеем площадь фигуры, ограниченной двумя функциями: $y = x^{2} + 5$ и $y = x +3$.

Чтобы найти данную площадь, нужно найти разность площадей каждой функции.

Очевидно, что площадь фигуры, образованной функцией $y = x^{2} + 5$ на отрезке $[-2; \ 1]$ больше, чем площадь фигуры, образованной функцией $y = x +3$ на том же отрезке, поэтому

$\ S = \displaystyle \int\limits^1_{-2} {(x^{2} + 5 - (x + 3))} \, dx = \int\limits^1_{-2} {(x^{2} - x + 2)} \, dx = \left(\dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{x^{2}}{2} + 2x \right) \bigg |^{1}_{-2} =$

$= \dfrac{1^{3}}{3} - \dfrac{1^{2}}{2} + 2 \cdot 1 - \left(\dfrac{(-2)^{3}}{3} - \dfrac{(-2)^{2}}{2} + 2 \cdot (-2) \right) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} + 2 + \dfrac{8}{3} + 2 + 4 = 10,5$ квадратных единиц.