Question

Помогите решить такое уравнение:
$\sqrt{x^{2} -5x-6}=\sqrt{-x^{2}+18x-72 }+\sqrt{-x^{3}+17x^{2} -89x+138}$

Answer 1

Ответ: x1=6 ;  x2=8

Пошаговое объяснение:

Сразу  скажу , что ОДЗ  тут не  спасает!  

Пересечение всех трех неравенств не дает одно значение!!! (Не  стоит даже тратить время  на его нахождение)

Но тем не менее,  разложить на множители подкоренные выражения стоит :  

x^2-5x-6 =(x-6)*(x+1) - теорема Виета

Снова по теореме Виета :

-x^2+18*x-72 = (x-6)*(12-x)

Для  3 радикала   я очень  хитро придумал : (для  удобства преобразую для -)

- (x^3 -17*x^2 +89*x -138)

x^3 -17*x^2 +66*x +23*x -138 = x*(x^2-17*x +66) + 23*(x-6)

Именно такой трехчлен в скобках сделал неспроста:

x^2-17x +66  = (x-6)*(x-11) - по теореме Виета

x*(x-6)*(x-11) +23*(x-6) = (x-6)*(x^2-11x +23)

Теперь можно упростить вынеся √(x-6) за  скобки :

(√(12-x)  +√(-x^2+11*x-23)  - √(x+1) ) *√(x-6) = 0

Стоит  сразу отметить ,  что   6<=x <=12

Один корень уже известен :

x1=6

√(12-x)  +√(-x^2+11*x-23)  - √(x+1) = 0

x^2-11*x+23 = (12-x)*(x+1) -35

√(12-x)  +√ ( (12-x)*(x+1) -35 )  - √(x+1) = 0

√(x+1) - √(12-x)  =  √ ( (12-x)*(x+1) -35 )

Возводим в квадрат :

x+1 -2*√( (x+1)*(12-x) )  +12-x  =  (12-x)*(x+1) -35

13- 2*√( (x+1)*(12-x) ) =  (12-x)*(x+1) -35

Замена :  √( (x+1)*(12-x) ) = t >=0

13 -2t =t^2 -35

t^2 +2t -48 = 0

По теореме Виета :

t1 = 6

t2 = -8  < 0  (не подходит)

√ ( (x+1)*(12-x) ) = 6

(x+1)*(12-x) = 36

x^2 -11*x +24=0

По теореме Виета :

x1=3 < 6 не подходит  

x2=8 (предварительно подходит)

Поскольку ОДЗ  мы не нашли , то  для  x=8  придется сделать проверку

√(12-x)  +√ ( (12-x)*(x+1) -35 )  - √(x+1) = 0

√4 +√(36-35) -√9 = 2+1-3 = 0 -  верно .

Ответ :  x1=6 ;  x2=8