Question

Вычислите площадь области, ограниченной линиями, заданной уравнениями в полярной системе координат: p=2cos3φ, p=1 (p>=1)

Answer 1

График уравнения ρ=2cos3φ - трехлепестковая роза

График уравнения ρ=1-  окружность радиуса 1

Находим точки пересечения кривых:

2cos3φ=1

cos3φ=1/2

3φ=±(π/3)+2πk, k∈Z

φ=±(π/9)+(2π/3)k, k∈Z

Так как по условию ρ≥1- это внешняя  часть круга.

Область состоит из трех одинаковых областей.

Находим площадь одной на участке от (-π/9)  до (π/9)

и умножаем на три:

S=3·∫^(π/9)_(-π/9) (1/2)(cos²3φ-1²)dφ=(3/2)∫^(π/9)_(-π/9)((1+cos6φ)/2 - 1)dφ=

=(3/4))∫^(π/9)_(-π/9)((cos6φ - 1)dφ=

=(3/4)*((sin6φ/6)-φ)|^(π/9)_(-π/9)=

=(3/24)·(sin(6π/9)-sin(-6π/9))-(3/4)·((π/9)-(-π/9))=

=(3/24)·(sin(2π/3)-sin(-2π/3))-(3/4)·(2π/9)=

=(3/24)·((√3)/2+(√3)/2)-(6π/36)=

=(√3)/8-(π)/6

О т в е т. (√3)/8-(π)/6