Question

Дано
$cos \ \alpha = - \frac{8}{17}$
,
$cos \ \beta = \frac{4}{5}$,
$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$
,
$\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$

Найдите
а)
$\sin( \alpha + \beta )$

б)
$\cos( \alpha - \beta )$


​

Answer 1

Так как $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$, то это угол 3 четверти, где синус отрицательный.

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\\\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha\\\sin\alpha =-\sqrt{1-\cos^2\alpha} \\\sin\alpha =-\sqrt{1-\left(-\dfrac{8}{17}\right)^2}=-\sqrt{1-\dfrac{64}{289}}=-\sqrt{\dfrac{225}{289}}=-\dfrac{15}{17}$

Так как  $\dfrac{3\pi }{2} <\beta <2\pi$, то это угол 4 четверти, где синус также отрицателен.

$\sin^2\beta+\cos^2\beta=1\\\sin^2\beta=1-\cos^2\beta\\\sin\beta =-\sqrt{1-\cos^2\beta} \\\sin\beta=-\sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2}=-\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=-\sqrt{\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{3}{5}$

$\sin(\alpha +\beta)=\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta =\\=-\dfrac{15}{17} \cdot\dfrac{4}{5} +\left(-\dfrac{8}{17} \right)\cdot\left(-\dfrac{3}{5} \right)=-\dfrac{60}{85} +\dfrac{24}{85}=-\dfrac{36}{85}$

$\cos(\alpha -\beta)=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta =\\=-\dfrac{8}{17} \cdot\dfrac{4}{5} +\left(-\dfrac{15}{17} \right)\cdot\left(-\dfrac{3}{5} \right)=-\dfrac{32}{85} +\dfrac{45}{85}=\dfrac{13}{85}$

Оценим угол $\alpha +\beta$:

$\pi+\dfrac{3\pi }{2}<\alpha+\beta<\dfrac{3\pi}{2} +2\pi\\\dfrac{\pi }{2}<\alpha+\beta<\dfrac{3\pi}{2}$

Угол принадлежит либо 2 либо 3 четверти, но учитывая отрицательный синус этого угла - это 3 четверть.

Оценим угол $\alpha -\beta$:

$\pi-2\pi<\alpha-\beta<\dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{3\pi }{2} \\-\pi<\alpha-\beta<0$

Угол принадлежит либо 3 либо 4 четверти, но учитывая положительный косинус этого угла - это 4 четверть.