Question

Исследовать функцию y=12x^3-24x^2+12x и построить график

Answer 1

$y = 12x^3 - 24x^2 + 12x = 12x(x^2 - 2x + 1) = 12x(x-1)^2\\y' = (12x^3 - 24x^2+12x)' = 36x^2 - 48x + 12 = 12(3x^2 - 4x + 1) = 36(x-1)(x-\frac{1}{3})\\ y' = 0 => 36(x-1)(x-\frac{1}{3}) = 0 => x_1 = 1; x_2 = \frac{1}{3}\\ +++++++[\frac{1}{3}]-------[1]+++++++>y'$Значит, на промежутках $x = [-\infty; \frac{1}{3}] \& [1; +\infty]$ функция возрастает, а на промежутке $x = [\frac{1}{3}; 1]$ cоответственно, убывает.

Теперь найдем точки перегиба:

$y'' = (y')' = 12(6x-4) = 24(3x-2) = 0\\y'' = 0 => 24(3x-2)=0 => x = \frac{2}{3}\\-------[ \frac{2}{3}]+++++>y''$

Значит, на правом промежутке функция вогнута, а слева выпукла.

Функция не имеет точек разрыва I и II рода. Асимптот так же не имеет, т. к. $\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} (12x^2 + 24x + 12) = \infty$

Нули функции:

$y = 12x(x-1)^2 => x_1 = 0; x_2_,_3 = 1.$

График тут не построю( Но по точкам как-нибудь сообразите)