Question

Помогите пожалуйста решить интеграл неопределенный ​

Answer 1

$\displaystyle \int {\dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}} } = \int\limits {x^{-1}(1-x^{2})^{-\bigg{\frac{1}{2} }}} \, dx$

Для вычисления интеграла от дифференциального бинома

$\displaystyle \int x^{m}(a + bx^{n})^{p} \ dx,$

где $a, \ b$ — действительные числа, a $m, \ n, \ p$ — рациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:

• если $p$ — целое число, то используется подстановка $t = x^{s}$, где $k$ — общий знаменатель дробей $m$ и $n$;

• если $\dfrac{m + 1}{n}$, то используется подстановка $a + bx^{n} = t^{s}$, где $s$ — знаменатель дроби $p$;

• если $\dfrac{m + 1}{n}+p$, то используется подстановка $ax^{-n}+b = t^{s}$, где $s$ — знаменатель дроби $p$;

Для данного интеграла проверим второй случай: $\dfrac{-1 + 1}{2} = 0$, следовательно, сделаем замену: $1 - x^{2} = t^{2}$. Тогда $t = \sqrt{1 - x^{2}}$ и $x = \sqrt{1 - t^{2}}$ и $dx = -\dfrac{t}{\sqrt{1 - t^{2}} } dt$, если $x \in [-1; \ 1]$. Имеем:

$\displaystyle \int {\dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}} } = \displaystyle \int {-\dfrac{t}{t\sqrt{1 - t^{2}}} } dt = -\int {\dfrac{dt}{\sqrt{1 - t^{2}}} } = -\arcsin t + C$

Сделаем обратную замену:

$-\arcsin t + C = -\arcsin \sqrt{1 - x^{2}} + C$

Ответ: $\displaystyle \int {\dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}} } = -\arcsin \sqrt{1 - x^{2}} + C,$ если $x \in [-1; \ 1].$

Answer 2

Ответ: во вложении Пошаговое объяснение: