Question

5.94. Докажите, что сумма:
1) 1^3+2^3+3^3+...+9^3 делится на 5;
2) 1^3+2^3+3^3+...+49^3 делится на 25.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) Чтобы определить, делится ли число на 5, можно перемножить все числа последовательности, глянуть какой цифрой заканчивается произведение. Если эта цифра 5 или 0, то число делится на 5. Но т.к. нас интересует только последняя цифра числа, то давайте только ее и определим. Т.е. ищем последнюю цифру кубов чисел, изапишем их:

1 =...1

2^3=...8

3^3=3*3=9*3=27... 7

4*4=16*4=..24*4=...6 и т.д.

Получае ряд чисел (последние цифры кубов чисел)

1 8 7 6 5 6 3 2 9

Просуммируем первое последнее, второн ипредпоследнее и т.д.

10+10+10+10+5.

Последняя цифра суммы это 5. Число делится на 5!

2). Второй вариант аналогичен первому. Здесь мы имеем сумму (естественно не равных между собой чисел) 5 чисел, но каждое из которых делится на 5.

Т.е. эта сумма делится на 5*5=25.

Answer 2

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

1) 1^3+2^3+3^3+...+9^3 делится на 5;

(1^3 + 9^3) + (2^3 + 8^3) + (3^3 + 7^3) + (4^3 + 6^3) + 5^3 = (1 + 9)(1^2 -9 + 9^2) + (2+8)(2^2 - 16 + 8^2) + (3 + 7)(3^2 - 21 + 7^2) + (4+6)(4^2 - 24 + 6^2) + 5^3 = 10*(.....) + 10(......) + 10(.......) + 10(......) + 5^3 сумма слагаемых кратных 5 и сумма кратна

2) 1^3+2^3+3^3+...+49^3 делится на 25.​

опять группируем по парам

(1^3 + 49^3) + (2^3 + 48^3) + .....+ 25^3 = 50*(.....) + 50*(.....) + ....+ 25^3 сумма слагаемых крвтных 25 и сумма делится на 25