На одной прямой 10 точек, а на второй 12. Сколькими способами можно составить треугольники с вершинами в этих точках?
Ответы
Ответ:
1200
Объяснение:
Здесь смесь геометрии, комбинаторики и факториалов.
Сначала геометрия.
Треугольники, соответствующие условию, будут находиться или двумя вершинами, то есть одной своей стороной, на одной прямой (где 10 точек) - и третьей вершиной на другой (где 12 точек).
Если мы разберемся, сколько вариантов разместить сторону на прямой, у которой 10 точек - то потом это число умножим на 12 (на число вариантов разместить третью вершину на второй прямой, там, где 12 точек). Получим число треугольников со стороной на 10-точечной прямой и третьей вершиной на 12-точечной.
И наоборот, если разберемся, сколько вариантов разместить сторону на 12-точечной прямой - то полученное число умножим на 10 и получим число треугольников со стороной на 12-точечной прямой и третьей вершиной на 10-точечной.
Потом сложим полученные числа - получим итоговое количество возможных треугольников.
ОК, пошли считать.
Факториалы можно поискать по таблицам, например 10! (факториал 10) равен 3 628 800 и т.п.
Чтобы вычислить, сколько вариантов разместить сторону (т.е. 2 точки) на 10-точечной прямой, считаем число вариантов С по формуле
С из 10 элементов по 2 = 10! * (10-2)! = 45
Сторону (т.е. 2 вершины треугольника) можно разместит на 10-точечной прямой 45-ю способами. Умножаем на 12 - то есть на варианты размещения вершины на 12-точечной прямой = получаем 540.
Сторону (т.е. 2 вершины) можно разместить на 12-точечной прямой:
С из 12 элементов по 2-м = 12! * (12-2)! = 66.
Умножаем на 10, то есть на число вариантов разместить третью вершину на 10-точечной прямой = получаем 660 вариантов треугольника.
Складываем 540 и 660 = получаем 1200.