Question

Докажите неровность х²+9у⁴+1>или=-3ху²-х+3у²

Answer 1

$x^2+9y^4+1+3xy^2+x-3y^2=x^2+(3y^2+1)x-3y^2+1+9y^4=\\ \\ =(x+1{,}5y^2+0{,}5)^2-(1{,}5y^2+0{,}5)^2-3y^2+1+9y^4=\\ \\ =(x+1{,}5y^2+0{,}5)^2+6{,}75y^4-4{,}5y^2+0{,}75=\\ \\ =(x+1{,}5y^2+0{,}5)^2+6{,}75(y^2-\frac{1}{3})^2\geq 0$

То есть, $x^2+9y^4+1\geq -3xy^2-x+3y^2$. Что и требовалось доказать