Question

$f(x) = \frac{ {x}^{3} + 1 }{ {x}^{2} + 6x + 5 }$
a) Найти порог при x=(-1)
b) при x=(-5)
с) используя пункты (а),(б) начертить вертикальную асимтоту функций
d) используя порог найти наклонную асимтоту​

Answer 1

Для начала разложим знаменатель на множители, для этого найдем корни уравнения

x²+6x+5=0

x₁=(-3+4)/2=1/2; x₂=(-3-4)/2=-7/2

Тогда:

$f(x)=\frac{x^3+1}{(x-1/2)(x+7/2)}$

a) при x=-1 знаменатель дроби ≠0, а значит функция непрерывна в этой точке и определена

$\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = 0$:

b) при x=-5 знаменатель дроби также ≠0

$\lim_{x \to -5} f(x) = f(-5) = \frac{-5^3+1}{(-5-1/2)(-5+7/2)} = \frac{-124}{\frac{-11}{2}\frac{-3}{2}} = -\frac{496}{33}$

c) Асимптоты (вертикальные) будут при x=x₁, x₂, когда знаменатель=0.

Чертеж - на рисунке.

d) Наклонная асимптота определяется:

$\lim_{x \to \infty} (f(x) - kx- b) = 0$

При x→∞ можно оставить в числителе и знаменателе только старшие степени:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{x^3}{x^2} =x$

отсюда: k=1, b=0

И наклонная асимптота имеет зависимость: y=x.