Question

Решить уравнение:
3tgx + tg3x = 0
(Если можно, ответ через арктангенс)

Answer 1

Решение : //////////////////////////

Answer 2

Сразу рассмотрим случай $\tan x =0$;

Тогда видно, что $x=\pi k$ является решением.

Теперь $\tan x\neq0$;

Разделим обе части на $\tan x$:

$\frac{\tan3x}{\tan x}=-3\Leftrightarrow \frac{\tan 3x+\tan x}{\tan x}=-2$; Воспользуемся формулой суммы тангенсов:

$\frac{\sin4x}{\cos3x\cos x}\times \frac{\cos x}{\sin x}=-2\Leftrightarrow \frac{\sin4x}{\cos3x\sin x} =-2$;

Но $\cos3x\sin x=\frac{1}{2}(\sin(-2x)+\sin4x)$; Подставляя это в уравнение, получаем: $\frac{\sin4x}{-\sin2x+\sin4x}=-1\Rightarrow \sin4x=\sin2x-\sin4x\Leftrightarrow 2\sin4x=\sin2x$;

Ну и заключительный этап:

$4\sin2x\cos2x=\sin2x\Leftrightarrow \sin2x(4\cos2x-1)=0$, откуда получаем:

$x=\pi t/2,\; \pm0.5\arccos(1/4)+\pi z$; Запишем ответ (переведя арккосинус в арктангенс):

$x=\pi k,\\ x=\frac{\pi t}{2},\\ x=\pm0.5\arctan\sqrt{15}+\pi z,\; k,t,z\in\mathbb{Z}$