Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!!ПРОШУ, РЕШИТЕ, ИЛИ ХОТЯ БЫ НАМЕКНИТЕ!n человек разбили на m команд так, что в каждой команде есть хотя бы один человек. Все члены каждой команды обменялись рукопожатиями. Посчитайте минимальное и максимальное число возможных рукопожатий.

Программа получает на вход целые числа n и m, 1≤m≤n≤100, каждое в отдельной строке, и должна вывести два числа — минимальное и максимальное число рукопожатий.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Введу две новые переменные: div(n, m) = a и mod(n, m) = b, где div и mod - целая часть и остаток от деления n на m.

Если в команде k человек, у них будет k (k - 1)/2 рукопожатий: каждый из k людей пожмет руку (k - 1) человеку, но каждое рукопожатие будет посчитано дважды.

Сначала порассуждаем о минимальном количестве рукопожатий. Пусть в одной группе a человек, в другой b, и a - b > 1. Тогда всего рукопожатий в этих двух группах

$\dfrac{a(a-1)}2+\dfrac{b(b-1)}2$

Переведём одного человека из большой группы в малую. Новое число рукопожатий

$\dfrac{(a-1)(a-2)}2+\dfrac{b(b+1)}2$

Считаем, на сколько изменилось общее число рукопожатий:

$\left(\dfrac{(a-1)(a-2)}2+\dfrac{b(b+1)}2\right)-\left(\dfrac{a(a-1)}2+\dfrac{b(b-1)}2\right)=\\=1-(a-b)$

Поскольку мы считали, что a - b > 1, то после перевода количество рукопожатий уменьшилось. Значит, для получения минимального числа рукопожатий количество людей в группах должно отличаться не более, чем на 1. Очевидно, нужно b групп сделать из a + 1 человека, а оставшиеся m - b групп сделать из a человек.

В этом случае количество рукопожатий получится равным

$b\cdot\dfrac{a(a+1)}2+(m-b)\cdot\dfrac{a(a-1)}2$

Теперь в другую сторону: если нужно увеличить число рукопожатий, нужно, чтобы разность между количествами людей в группах была максимальной. Рассматривая все пары по очереди, получаем, что для этого нужно во все группы, кроме одной, положить по одному человеку. Тогда во всех маленьких группах не будет ни одного рукопожатия, а в большой - ровно

$\dfrac{(n-m+1)(n-m)}2$

рукопожатий.

Программа (python 3):

n = int(input())

m = int(input())

a, b = divmod(n, m)

print(b * a * (a + 1) // 2 + (m - b) * a * (a - 1) // 2)

print((n - m + 1) * (n - m) // 2)