Срочно надо решить задачу:
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки K, L, M, N -середины ребер B1C1, C1D1, BC, A1B1 соответсвенно. Будет ли прямая АА1 параллельна плоскости: а) ВСС1; б)ВDD1; c)BDC1; d)KLM; e)CKN; f)LMN.
Ответы
АА1 параллельна плоскости: а) ВСС1; б)ВDD1;d)KLM (если параллельна хотя бы одному отрезку плоскости, то параллельна всей плоскости)
Ответ:
a) АА₁║(ВСС₁)
b) AA₁║(BDD₁)
c) AA₁ ∩ (BDC₁)
d) AA₁║(KLM)
e) AA₁ ∩ (CNK)
f) AA₁ ∩ (LMN)
Объяснение:
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.
а) АА₁║ВВ₁, ВВ₁║СС₁ как противоположные стороны квадрата,
значит АА₁║СС₁.
СС₁ ⊂ (ВСС₁), ⇒ АА₁║(ВСС₁).
b) АА₁║ВВ₁, ВВ₁ ⊂ (BDD₁), ⇒ AA₁║(BDD₁) (рис. 1)
c) Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
АА₁║ВВ₁, ВВ₁ ∩ (BDC₁), ⇒ AA₁ ∩ (BDC₁) (рис. 1)
d) Точки К и М - середины равных параллельных ребер В₁С₁ и ВС, значит В₁К║ВМ и В₁К = ВМ, ∠В₁ВК = 90°, значит ВВ₁КМ - прямоугольник, тогда ВВ₁║КМ.
АА₁║ВВ₁, ВВ₁║КМ, ⇒ АА₁║КМ,
КМ ⊂ (KLM), ⇒ AA₁║(KLM) (рис. 2)
e) Параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым.
AA₁ ∩ (CNK) (рис. 2)
f) ВВ₁ ∩ (LMN), AA₁║BB₁, ⇒ AA₁ ∩ (LMN)(рис. 1)
