Question

Найдите $tg(\frac{\alpha+\beta }{2})$ и $cos(\alpha -\beta)$

Answer 1

Преобразуем известные выражения:

$\cos\alpha +\cos\beta =2\cos\dfrac{\alpha+\beta }{2} \cos\dfrac{\alpha-\beta }{2} =\dfrac{3}{10}$

$\sin\alpha +\sin\beta =2\sin\dfrac{\alpha+\beta }{2} \cos\dfrac{\alpha-\beta }{2} =-\dfrac{11}{10}$

Разделим второе на первое:

$\dfrac{2\sin\dfrac{\alpha+\beta }{2} \cos\dfrac{\alpha-\beta }{2}}{2\cos\dfrac{\alpha+\beta }{2} \cos\dfrac{\alpha-\beta }{2}} =\dfrac{-\dfrac{11}{10} }{\dfrac{3}{10}}$

$\boxed{\mathrm{tg}\dfrac{\alpha+\beta }{2} =-\dfrac{11}{3}}$

Возведем известные выражения в квадрат:

$(\cos\alpha +\cos\beta )^2=\cos^2\alpha +2\cos\alpha \cos\beta +\cos^2\beta =\dfrac{9}{100}$

$(\sin\alpha +\sin\beta )^2=\sin^2\alpha +2\sin\alpha \sin\beta +\sin^2\beta =\dfrac{121}{100}$

Просуммируем два этих выражения:

$\cos^2\alpha +\sin^2\alpha+2\cos\alpha \cos\beta +2\sin\alpha \sin\beta +\cos^2\beta++\sin^2\beta =\dfrac{9}{100}+\dfrac{121}{100}$

Учитывая основное тригонометрическое тождество:

$1+2\cos\alpha \cos\beta +2\sin\alpha \sin\beta +1 =\dfrac{130}{100}$

$2+2\cos\alpha \cos\beta +2\sin\alpha \sin\beta =\dfrac{13}{10}$

$1+\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta =\dfrac{13}{20}$

$\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta =-\dfrac{7}{20}$

Заметим, что в левой части записана как раз формула косинуса разности:

$\boxed{\cos(\alpha -\beta )=-\dfrac{7}{20}}$