Question

Найдите значение выражения:
$\sin( \frac{ \alpha }{2} )$
если
$\sin( \frac{ \alpha }{4} ) + \cos( \frac{ \alpha }{4} ) = \frac{1}{2}$

​

Answer 1

$\sin \dfrac{\alpha }{4} + \cos \dfrac{\alpha }{4} = \dfrac{1}{2}$

Здесь $\sin \dfrac{\alpha }{2} = 2\sin \dfrac{\alpha }{4} \cos \dfrac{\alpha} {4}$, поэтому воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^{2} \dfrac{\alpha }{4} + \cos^{2} \dfrac{\alpha }{4} = 1$

Получили систему из двух уравнений:

$\left\{\begin{array}{ccc}\sin \dfrac{\alpha }{4} + \cos \dfrac{\alpha }{4} = \dfrac{1}{2} \ \ \\ \\\sin^{2} \dfrac{\alpha }{4} + \cos^{2} \dfrac{\alpha }{4} = 1\\\end{array}\right$

Сделаем замену: $\cos \dfrac{\alpha }{4} = x, \ \sin \dfrac{\alpha }{4} = y$

Имеем:

$\left\{\begin{array}{ccc}y + x = \dfrac{1}{2} \ \ \\y^{2} + x^{2} = 1\\\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc}y = \dfrac{1}{2} - x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\left(\dfrac{1}{2} - x \right)^{2} + x^{2} = 1\\\end{array}\right$

$\dfrac{1}{4} - x+ x^{2}+x^{2} = 1 \ \ \ | \cdot 4$

$1 - 4x + 4x^{2} + 4x^{2} = 4$

$8x^{2} - 4x - 3 = 0$

$D = (-4)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 16 + 96 = 112$

$x_{1}= \dfrac{-(-4) + \sqrt{112}}{2 \cdot 8} = \dfrac{4 + 4\sqrt{7}}{16} = \dfrac{1 + \sqrt{7}}{4}$

$x_{2}= \dfrac{-(-4) - \sqrt{112}}{2 \cdot 8} = \dfrac{4 - 4\sqrt{7}}{16} = \dfrac{1 - \sqrt{7}}{4}$

$y_{1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1 + \sqrt{7}}{4} = \dfrac{2 - 1 - \sqrt{7}}{4} = \dfrac{1 - \sqrt{7}}{4}$

$y_{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1 - \sqrt{7}}{4} = \dfrac{2 - 1 + \sqrt{7}}{4} = \dfrac{1 + \sqrt{7}}{4}$

Получили два решения системы:

$(x_{1}; \ y_{1}) = \left( \dfrac{1 + \sqrt{7}}{4}; \ \dfrac{1 - \sqrt{7}}{4} \right)$

$(x_{2}; \ y_{2}) = \left(\dfrac{1 - \sqrt{7}}{4}; \ \dfrac{1 + \sqrt{7}}{4} \right)$

Следовательно, $\cos \dfrac{\alpha }{4} = \dfrac{1 + \sqrt{7}}{4}$ или $\cos \dfrac{\alpha }{4} = \dfrac{1 - \sqrt{7}}{4}$ и соответственно $\sin \dfrac{\alpha }{4} = \dfrac{1 - \sqrt{7}}{4}$ или $\sin \dfrac{\alpha }{4} = \dfrac{1 + \sqrt{7}}{4}$

Так как $\sin \dfrac{\alpha }{2} = 2\sin \dfrac{\alpha }{4} \cos \dfrac{\alpha} {4}$, то достаточно выбрать только одно решение, системы.

Тогда имеем:

$\sin \dfrac{\alpha }{2} = 2\sin \dfrac{\alpha }{4} \cos \dfrac{\alpha} {4} = 2 \cdot \dfrac{1 + \sqrt{7}}{4} \cdot \dfrac{1 - \sqrt{7}}{4} = \dfrac{2(1 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7})}{4 \cdot 4} = \\\\=\dfrac{1 - 7}{8} = -\dfrac{6}{8} = -\dfrac{3}{4}$

Ответ: $-\dfrac{3}{4}$