Question

найдите последнюю цифру �начения выражения:а)1*2+2*3+3*4+...+9*10; б) 1*2+2*3+3*4+...+9*10+10*11+...+2019*2020.

Answer 1

а) 1*2≡2 (mod 10) -эта запись означает, что оба числа дают один остаток при делении на 10.

2*3≡6 (mod 10); 3*4≡2 (mod 10); 4*5≡0 (mod 10); 5*6≡0 (mod 10);

6*7≡2 (mod 10); 7*8≡6 (mod 10); 8*9≡2 (mod 10); 9*10≡0 (mod 10);

При сложении чисел остатки от деления тоже складываются:

1*2+2*3+...+9*10 ≡ 2 + 6 + 2 + 0 + 0+ 2 + 6 + 2 + 0 ≡ 0 (mod 10)

Таким образом, т.к. остаток от деления на 10 равен нулю, последняя цифра - 0.

б) 10*11 + 11*12 +...+19*20 ≡ 1*2+2*3+...+9*10 ≡ 0 (mod 10)

Таким образом, любая сумма десятков вида x0*x1+..+x9*(x+1)0, где x - любое натуральное число, будет давать один и тот же остаток от деления на 10, т.е. 0.

В итоге, последняя цифра и здесь равна 0.