Question

$(x - 3) {}^{x {}^{2} } = (x - 3) {}^{2}$
Решите уравнение пожалуйста))​

Answer 1

ТЕОРИЯ К ПРИМЕРУ

Пусть имеется вид уравнения $\alpha (x)^{f(x)}=\alpha (x)^{g(x)}$ (1). При решении показательно-степенного уравнения, принято рассматривать несколько случаев.

Cлучай1. Если

                           $\begin{cases} & \text{ } \alpha(x)\ne 0 \\ & \text{ } \alpha (x)\ne 1 \\ & \text{ } \alpha (x)\ne -1\end{cases}$

то при одинаковых основаниях в обеих частях уравнения решения этого уравнения $f(x)=g(x)$ лежат в области решений уравнения . Но: не все корни $f(x)=g(x)$ являются корнями исходного уравнения. Например, α(x) < 0 и f(x) и g(x) - дробные, т.е. уравнение (1) вовсе решений не имеет.

Случай 2. Если $\alpha (x)=0$ , то при существовании некоторого корня $x_0$ и выполении условий:

                                         $\begin{cases} & \text{ } \alpha (x_0)=0 \\ & \text{ } f(x_0)>0 \\ & \text{ } g(x_0)>0 \end{cases}$

этот корень является корнем исходного уравнения.

Случай 3.  Если $\alpha (x)=1$ , то для любых $x_0$ таких, что $\alpha (x_0)=1$, $x_0$ является решением уравнения (1), так как единица в любой степени остаётся единицей.

Случай 4.  Если $\alpha(x)=-1$ , то решением первоначального уравнения являются такие $x_0$, что $\alpha (x)=-1$, а $f(x_0)$ и $g(x_0)$ имеют одинаковую чётность (либо оба чётные, либо оба нечётные).

Решаем для начала как показательные уравнения

$(x-3)^{x^2}=(x-3)^2\\ \\ x^2=2\\ \\ x=\pm\sqrt{2}$

Если $x-3<0$ ⇒ уравнение имеет целый корень x=2. В частности при x = 3 и х = 4 являются корнями данного уравнения

Ответ: ±√2; 2; 3; 4.