Question

водно-солевой раствор содержал 3 кг соли, концентрация которой была меньше 20%. к этому раствору добавили 6 кг соли, после чего концентрация соли увеличилась на 15%. какой была первоначальная масса раствора?

Answer 1

Ответ:

30 кг

Объяснение:

Пусть «$x$» кг раствора было изначально  ⇒ $\frac{3}{x}-$ доля соли в этом растворе ⇒ $x+6$ кг раствора стало после добавления соли ⇒ $\frac{3+6}{x+6}-$ доля соли в конечном растворе. Т.к. доля соли после добавления увеличилась на 15% ($\frac{15}{100}=0,15$), получим:

$\frac{9}{x+6}-\frac{3}{x}=0,15$

Домножим обе части уравнения на $x$ и $x+6$, получим:

$x(\frac{9}{x+6}-\frac{3}{x})=0,15x\\\frac{6(x-3)}{x+6}=0,15x\\\frac{6(x-3)}{x+6}*(x+6)=0,15x*(x+6)\\6x-18=0,15x^{2}+0,9x$

Перенесём правую часть уравнения в левую, получим:

$-0,15x^{2}+6x-0,9x-18=0\\-0,15x^{2}+5,1x-18=0$

Квадратное уравнение вида $ax^{2}+bx+c=0$ можно решить с помощью дискриминанта $D=b^{2}-4ac$.

$a=-0,15;b=5,1;c=-18\\D=5,1^{2}-4*(-0,15)*(-18)=26,01-10,8=15,21$

$D>0$ ⇒ корней будет два.

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a};x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\x_{1}=\frac{-5,1+\sqrt{15,21}}{2*(-0,15)}=\frac{-5,1+3,9}{-0,3}=\frac{-1,2}{-0,3}=4\\x_{2}=\frac{-5,1-\sqrt{15,21}}{2*(-0,15)}=\frac{-5,1-3,9}{-0,3}=\frac{-9}{-0,3}=30$

$x_{1}=4\\x_{2}=30$

По условию концентрация соли в первоначальном растворе была меньше 20% ⇒ $w-$ (массовая доля соли в первоначальном растворе) должна быть $<20$.

$w_{NaCl} =\frac{m_{NaCl} }{m_{p-pa}}$ * 100%

$w(x_{1})=\frac{3}{4}*100=0,75*100=75$

$75>20$ ⇒ $x_{1}-$ не является решением.

$w(x{2})=\frac{3}{30}*100=\frac{1}{10}*100=0,1*100=10$

$10<20$ ⇒ $x_{2} -$ является решением.

Значит, первоначальная масса раствора была 30 кг.