Question

4sinx+4cosx=1
помогите,пожалуйста)

Answer 1

4sinx + 4cosx = 1

Итак, задачка на первый взгляд несложная, но для ее решения необходимо помнить о конструктивных оборотных формулах:

$\sin(x) = \frac{2 \tan( \frac{x}{2} ) }{1 + \tan( \frac{x}{2} )^{2} }$

и

$\cos(x) = \frac{1 - \tan( \frac{x}{2} ) ^{2} }{1 + \tan( \frac{x}{2} ) ^{2} }$

Перейдя к тангенсу - останется лишь произвести расчеты.

Получаем:

$4 \times \frac{2 \tan( \frac{x}{2} ) }{1 + \tan( \frac{x}{2} )^{2} } + 4 \times \frac{1 - \tan( \frac{x}{2} )^{2} }{1 + \tan( \frac{x}{2} ) ^{2} } = 1$

Предлагаю ввести замену

tan(x/2) = t

$4 \times \frac{2t}{1 + {t}^{2} } + 4 \times \frac{1 - {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } = 1$

$\frac{8t + 4 - 4t ^{2} - 1 - {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } = 0$

$\frac{8t + 3 - 5 {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } = 0$

- 5t² + 8t + 3 = 0

5t² - 8t - 3 = 0

D = b² - 4ac = 64 - 4 × 5 × (-3) = 124

t(1;2) = (8±√124)/10

$t = \frac{4 + \sqrt{31} }{5}$

$t = \frac{4 - \sqrt{31} }{5}$

Вернемся к замене:

tan(x/2) = (4+√31)/5

x = 2arctan((4+√31)/5)+2πn; n € z

tan(x/2) = (4-√31)/5

x = 2arctan((4-√31)/5)+2πn; n € z

Ответ: 2arctan((4+√31)/5)+2πn и 2arctan((4-√31)/5)+2πn причем в обоих n € z