Question

Решите уравнение:
$\frac{tg2x}{tgx}$+(tgx)^2=2

Answer 1

${\rm tg}\, 2x=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}=\dfrac{2{\rm tg}\, x}{1-{\rm tg}^2x}$              (1)

Применим формулу (1) в данное уравнение

                               $\dfrac{2{\rm tg}\, x}{{\rm tg}\, x(1-{\rm tg}^2x)}+{\rm tg}^2x=2$

                                    $\dfrac{2}{1-{\rm tg}^2x}+{\rm tg}^2x=2$

Пусть ${\rm tg}^2x=t$ получаем

                                     $\dfrac{1}{1-t}+t=2~~~~~~~~\Bigg|\cdot (1-t)\ne 0$

                                $1+t-t^2=2-2t$

                                    $t^2-3t+1=0$

Решая как квадратное уравнение (через дискриминант), получим

                                    $t_{1,2}=\dfrac{3\pm \sqrt{5}}{2}$

Выполним обратную замену

                                   ${\rm tg}^2x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$

                                  ${\rm tg}\, x=\pm \sqrt{\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}}$

                     $\boxed{x=\pm{\rm arctg}\, \left(\sqrt{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\right)+\pi n,n \in \mathbb{Z}}}$