Question

При каких действительных значениях α число z=(cosπα - isinπα)^8 является: 1) действительным; 2) чисто мнимым?

Answer 1

$z=(cos\pi a - isin\pi a)^8=(cos(-\pi a) + isin(-\pi a))^8=(e^{-i\pi a})^8=e^{-8i\pi a}=(cos(-8\pi a) + isin(-8\pi a))\\ 1) sin(-8\pi a)=0=>-8\pi a = \pi n=>a=-\dfrac{n}{8},n\in Z\\ 2)cos(-8\pi a)=0=>-8\pi a=\dfrac{\pi}{2}+\pi n=>a=-\dfrac{1}{16}-\dfrac{ n}{8},n\in Z$