Question

ЕГЭ профильная математика #17

Даю много баллов

Помогите пожалуйста решить задачу. И объясните по ходу решения, что делаете, поскольку хочу понять, а не бездумно списать!!!

Answer 1

Ответ:

При $a = 306$

Пошаговое объяснение:

Сразу оговорюсь: решаем задачу в тысячах рублей.

Актуализируем математическую проблему: проект окупится, когда заработок будет равен или больше затрат.

Фраза $ax-(x^2+6x+22100)$ подразумевает доход: дельта между доходом от книг и затрат на их выпуск. Годов у нас дано 2, то есть то математическое выражение умножаем на 2. При этом, на разработку книжек потрачено 800 тыс. рублей, этот тот РАСХОД, который должен быть покрыт доходом от продажи книг, и разработка происходит только один раз (дальше просто мультиплицируем товар).

$Profit - Expense \geq 0$,

$2(ax-(x^2+6x+22100))-800\geq 0$.

Сведём это неравенство к квадратному ($ax^2+bx+c\geq 0$) относительно $x$.

Для удобства поделим левую и правую часть неравенства на 2 (число положительное, поэтому знак неравенство не меняется):

$(ax-(x^2+6x+22100))-400\geq 0$.

Раскроем скобки и сведём к вышепредставленному виду:

$ax-x^2-6x-22100-400\geq 0$,

$ax-x^2-6x-22500\geq 0$.

Для удобства поделим левую и правую часть неравенства на $-1$ , знак неравенства тогда перевернётся с $\geq 0$ на $\leq 0$ :

$x^2+6x-ax+22500\leq 0$,

$x^2+(6-a)x+22500\leq 0$ .

Есть неписаное правило в элементарной математике: "чтобы решить квадратное неравенство, надо решить квадратное уравнение":

$x^2+(6-a)x+22500=0$.

Найдём корни этого уравнение по формуле $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$ :

$x=\frac{a-6 \pm \sqrt{(a-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 22500} }{2 \cdot 1}$ .

Стоит заметить, что $4 \cdot 22500= 4 \cdot 225 \cdot 100= 2^2 \cdot 15^2 \cdot 10^2=(2 \cdot 15 \cdot 10)^2 = 300^2$.

Отсюда $D=(a-6)^2-300^2$ и по ф-ле разницы квадратов: $D=((a-6)-300)((a-6)+300)=(a-306)(a+204)$.

Чтобы корни существовали, $D\geq 0$,$(a-306)(a+204)\geq 0, a\geq 306$.

Заметим, что промежуток $a\leq -204$ не берём, так как цена - число положительное ($a>0$).

Значит, минимальное значение $a=306$, выполним проверку:

$x^2+(6-306)x+22500\leq 0$

$(x-150)^2\leq 0$

$x=150$.

Издательство будет выпускать учебники в таком к-ве, чтобы прибыль была максимальная, что удовлетворяет полученные значения.

Ответ: $a=306$.