Question

Доказать тождество и указать значения а, при которых оно имеет место
$1) \tan( \frac{ \alpha }{2} ) = \frac{ \sin( \alpha ) }{1 + \cos( \alpha ) }$
$2) \tan( \frac{ \alpha }{2} ) = \frac{1 - \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) }$
​

Answer 1

${\rm tg}\, \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\dfrac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\dfrac{\sin (2\cdot \frac{\alpha}{2})}{2\cdot \frac{1+\cos(2\cdot \frac{\alpha}{2})}{2}}=\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}$

${\rm tg}\, \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\dfrac{\sin\alpha(1-\cos \alpha)}{(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)}=\dfrac{\sin \alpha(1-\cos \alpha)}{\sin^2\alpha}=\dfrac{1-\cos \alpha}{\sin\alpha}$

При этом $\alpha\ne \pi + 2\pi k,k \in \mathbb{Z}$