Question

Пусть f - многочлен, а F - множество решений уравнения f(x) = х - совпадает с множеством решений уравнения f(f(x)) = x.

Покажите, что множество решений уравнения f(f(...(x)...))=х совпадает с F.

Answer 1

Пусть $f_{n}(x)$ означает $f(f(...(x)...))$, где $f$ применена $n$ раз.

Поскольку $f$ многочлен, то у него есть значение в любой точке. (*)

Докажем утверждение по индукции.

База: $n=1$ - это то, что дано по условию.

Переход:

Пусть для некоторого $n=k$ верно; Докажем, что из этого следует справедливость утверждения и для $n=k+1$; Действительно, по предположению индукции множество решений уравнения $f_{k}(x)=x$ совпадает с $F$; Возьмем $f$ от обеих частей (благодаря (*) мы можем это сделать): $f(f_{k}(x))=f_{k+1}(x)=f(x)$; Но если сделать замену $f(x)=u$, получим $f_{k}(u)=u$; А множество решений этого уравнения лежит в $F$; Предположим, что есть некоторый элемент $y\in F$, такой, что для него не найдется $x$, чтобы $f(x)=y$; Тогда $f_{k}(y)\neq y$, но $y$ лежит в $F$, противоречие. Это завершает переход.