Question

$log_{x + 6}( \frac{x - 4}{x} ) ^{2} + log_{x + 6}( \frac{x}{x - 4} ) \leqslant 1$
Решите с полным объяснением. ​

Answer 1

Для начала разберемся с ОДЗ:

x + 6 > 0 ⇒ x > - 6

х + 6 ≠ 1 ⇒ х ⇒ - 5

x / (x-4) > 0

     +        0         -           4       +

_______⚪_________⚪_______

///////////////                       ////////////////

x ∈ ( - ∞ ; 0 ) ∪ ( 4 ; + ∞)

Приступим:

$log_{x+6}( \frac{x-4}{x} )^{2} + log_{x+6}( \frac{x}{x-4} )\leq 1\\2log_{x+6}( \frac{x-4}{x} ) + log_{x+6}( \frac{x-4}{x})^{-1} )\leq 1\\2log_{x+6}( \frac{x-4}{x} ) - log_{x+6}( \frac{x-4}{x}) )\leq 1\\\\log_{x+6}( \frac{x-4}{x} ) - 1\leq 0\\log_{x+6}( \frac{x-4}{x} ) - log_{x+6}( {x+6)} \leq 0$

Дальше Необходимо вспомнить одну из формул рационализации:

$log_{a}b-log_{a}c = (a-1)(b-c)$

Тогда:

$(x+5)(\frac{x-4}{x}-x-6)\leq 0\\(x+5)(\frac{x-4-x^{2}-6x }{x})\leq 0\\(x+5)(\frac{x^{2}+5x+4 }{x})\geq 0$

Приравняем к 0 и решим квадратное уравнение, дабы разложить эту часть на множители.

x² + 5x + 4 = 0

D = b² - 4ac = 9

x(1) = (-b-√D)/2a = - 4

x(2) = (-b+√D)/2a = - 1

$(x+5)(\frac{(x+4)(x+1) }{x})\geq 0$

Воспользуемся методом интервалов:

  +      -5     -      -4      +      -1      -       0      +      

_____⚫______⚫______⚫______⚪_____________

//////////                  //////////////                /////////////////////

x ∈ ( - ∞ ; - 5] ∪ [ - 4 ; - 1 ] ∪ ( 0 ; + ∞)

Подставим под ОДЗ и получим ответ:

Ответ: ( - 6 ; - 5] ∪ [ - 4 ; - 1 ] ∪ ( 4 ; + ∞)