Question

Пожалуйста, решите уравнение
cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = -$\frac{1}{2}$

Спасибо большое.

Answer 1

Будем пользоваться следующей формулой:

$\boxed{\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}}$

___________________________________

Сгруппируем первый с последним и оставшиеся:

$\cos x+\cos4x+\cos2x+\cos3x=2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}+2\cos\frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}$, вынесем общий множитель: $2\cos\frac{5x}{2}(\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{x}{2})=2\cos\frac{5x}{2}\times2\cos x\cos\frac{x}{2}$; Умножим и поделим на $\sin\frac{x}{2}$: $\frac{2\cos\frac{5x}{2}\cos x\sin x}{\sin\frac{x}{2} }=\frac{\cos\frac{5x}{2}\sin2x }{\sin\frac{x}{2} }$;

Получили уравнение: $\frac{\cos\frac{5x}{2}\sin2x }{\sin\frac{x}{2} }=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{2\cos\frac{5x}{2}\sin2x }{\sin\frac{x}{2} }=-1$; Теперь

$2\cos\frac{5x}{2}\sin2x=\sin\frac{9x}{2}-\sin\frac{x}{2}$; Итак, $\frac{\sin\frac{9x}{2}-\sin\frac{x}{2} }{\sin\frac{x}{2} }=-1\Leftrightarrow \frac{\sin\frac{9x}{2} }{\sin\frac{x}{2} }=0\Leftrightarrow x=\frac{2\pi k}{9},\; k\in\mathbb{Z}$