Question

Из списка натуральных чисел 1, 2, ..., N вычеркнули все числа, кратные 3 или 4 (числа, кратные и 3, и 4, вычеркнули). После этого осталось ровно 2017 чисел. Найдите N.

Answer 1

Кол-во чисел от 1 до N, делящихся на x, равно [N/x].

Тогда, по формуле включения исключений, кол-во вычеркнутых чисел равно [N/3]+[N/4]-[N/12]

N=2017+[N/3]+[N/4]-[N/12]

N=2017+N/3-{N/3}+N/4-{N/4}-N/12+{N/12}

N/2=2017+{N/12}-{N/3}-{N/4}

{x}∈[0;1)=>{N/12}-{N/3}-{N/4}∈(-2;1)

-2<N/2-2017<1

2015<N/2<2018

4030<N<4036

N=4031: [N/3]+[N/4]-[N/12]=1343+1007-335=2015

N=4032: [N/3]+[N/4]-[N/12]=1344+1008-336=2016

N=4033: [N/3]+[N/4]-[N/12]=1344+1008-336=2016=N-2017 - верно

N=4034: [N/3]+[N/4]-[N/12]=1344+1008-336=2016

N=4035: [N/3]+[N/4]-[N/12]=1345+1008-336=2017

Ответ: 4033

_____________________

{x} - дробная часть числа x

[x] - целая часть числа x