Question

Помогите решить тригонометрию

Answer 1

Для начала распишем парочку формул

$tg\alpha+tg\beta=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} +\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Аналогично можно доказать, что

$tg\alpha-tg\beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.

Сумма котангенсов:

$ctg\alpha+ctg\beta=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+ \frac{\cos\beta}{\sin\beta}=\frac{\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha}{\sin\alpha\sin\beta} =\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}$

Аналогично можно доказать, что

$ctg\alpha-ctg\beta=-\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}$

1) Имеем:

$\frac{tg\alpha+tg\beta}{tg\alpha-tg\beta} -\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)} +\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}:\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}-\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}+ctg\alpha+ctg\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}-\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}+ctg\alpha+ctg\beta=ctg\alpha+ctg\beta$

2) Имеем:

$\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}+\frac{\sin(\beta-x)}{\sin\beta\sin x}+\frac{\sin(x-\alpha)}{\sin\alpha\sin x}=-(ctg\alpha-ctg\beta)-(ctg\beta-ctgx)-(ctgx-ctg\alpha)=-ctg\alpha+ctg\beta-ctg\beta+ctgx-ctgx+ctg\alpha=0$