Question

Решить двойной интеграл
6-й пример Срочно Даю 40 баллов

Answer 1

Интегрируем функцию (у-х) на множестве, что задаёт неравенствами

                                            $0\leq x\leq 1\\ x^2\leq y\leq x$

Область интегрирования смотрите на фото. Решаем интеграл

$\displaystyle \iint_D(y-x)dxdy=\int\limits^1_0dx\int\limits^x_{x^2}(y-x)dy=\int\limits^1_0\Bigg[\left(\dfrac{y^2}{2}-yx\right)\bigg|^x_{x^2}\Bigg]dx=\\ \\ \\ =\int\limits^1_0\left(\dfrac{x^2}{2}-x^2-\dfrac{x^4}{2}+x^3\right)dx=\int\limits^1_0\left(x^3-\dfrac{x^4}{2}-\dfrac{x^2}{2}\right)dx=\\ \\ \\ =\left(\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^5}{10}-\dfrac{x^3}{6}\right)\bigg|^1_0=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{60}$