Question

2 sin((п/4)-x)=cos(3x-(п/4))

Answer 1

Пусть $u=\frac{\pi}{4}-x$;

$2\sin u=\cos(\frac{3\pi}{4}-3u-\frac{\pi}{4})=\sin 3u$;

Рассмотрим два случая:

1) $\sin u \neq 0$

$2=\frac{\sin 3u}{\sin u}\Leftrightarrow 1= \frac{\sin 3u-\sin u}{\sin u}$

Воспользуемся формулой $\boxed{\sin x-\sin y=2\sin \frac{x-y}{2}\cos \frac{x+y}{2}}$;

_____________________________________________________

Здесь ее краткий вывод:

Пусть $x=\alpha+\beta$, а $y=\alpha-\beta$; Такие числа легко найти: $\alpha=\frac{x+y}{2},\; \beta=\frac{x-y}{2}$;

Получаем $\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$

В итоге $\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\sin\beta\cos\alpha=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$;

_____________________________________________________

Итак, $1=\frac{2\sin u\cos2u}{\sin u}=2\cos 2u \Leftrightarrow \cos 2u=\frac{1}{2}\Leftrightarrow u=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k,\k\in\mathbb{Z}$

Откуда $x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\; x= \frac{5\pi}{12}+\pi k$

2) $\sin u =0$

Тогда $u=\pi t$  и $\sin 3u=\sin 3\pi t =0$. То есть получили равенство.

Ответ: $x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\; x= \frac{5\pi}{12}+\pi k, x=\frac{\pi}{4}-\pi k$