Question

10 класс
Решите тригонометрическое уравнение
8cos^2 5x-4cos^2 10x=1

Answer 1

Применим формулу понижения степеней

$8\cdot \dfrac{1+\cos10x}{2}-4\cos^210x=1\\ \\ 4+4\cos10x-4\cos^210x=1\\ \\ 4\cos^210x-4\cos10x-3=0$

Решаем как квадратное уравнение относительно cos10x

$D=(-4)^2-4\cdot4\cdot (-3)=4^2\cdot (1+3)=4^2\cdot 2^2\\\sqrt{D}=4\cdot 2=8$

$\cos10x=\dfrac{4+8}{2\cdot 4}>1$ - уравнение решений не имеет.

$\cos10x=\dfrac{4-8}{2\cdot4}=-\dfrac{1}{2}\\ \\\\ 10x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ x=\pm\dfrac{\pi}{15}+\dfrac{\pi n}{5},n \in \mathbb{Z}$