Question

В возрастающей геометрической прогрессии b1+b2+b3=215. Числа b1+12; b2+25; b3-87 составляют арифметическую прогрессию. Найдите b3

Answer 1

$b_{1} + b_{2} + b_{3} = 215$ — возрастающая геометрическая прогрессия.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n-1}$ и перепишем равенство следующим образом:

$b_{1} + b_{1}q + b_{1}q^{2} = 215$

$b_{1}(1 + q + q^{2}) = 215$

Тогда $a_{1} = b_{1} + 12; \ a_{2} = b_{2} + 25 = b_{1}q + 25; \ a_{3} = b_{3} - 87 = b_{1}q^{2} - 87$ образуют арифметическую прогрессию. Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии, а именно $2a_{2} = a_{1} + a_{3}$. Таким образом,

$2(b_{1}q + 25) = b_{1} + 12 + b_{1}q^{2} - 87$

$2b_{1}q + 50 = b_{1} + b_{1}q^{2} - 75$

$b_{1} - 2b_{1}q + b_{1}q^{2} = 125$

$b_{1}(1 - 2q + q^{2}) = 125$

$b_{1}(1 - q)^{2} = 125$

Получили систему уравнений с двумя переменными:

$\left\{\begin{array}{ccc}b_{1}(1 + q + q^{2}) = 215\\b_{1}(1 - q)^{2} = 125 \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

Поделим почленно оба уравнения:

$\dfrac{b_{1}(1 + q + q^{2})}{b_{1}(1 - q^{2})} = \dfrac{215}{125}$

$\dfrac{1 + q + q^{2}}{1 - 2q + q^{2}} = \dfrac{43}{25}$

$25(1 + q + q^{2}) = 43(1 - 2q + q^{2})$

$25 + 25q + 25q^{2} = 43 - 86q + 43q^{2}$

$6q^{2} - 37q + 6 = 0$

$D = (-37)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 1369 -144 = 1225$

$q_{1} = \dfrac{37 + 35}{12} = 6$

$q_{2} = \dfrac{37 - 35}{12} = \dfrac{1}{6}$ — не удовлетворяет условию задачи, так как геометрическая прогрессия возрастающая.

Следовательно, $b_{1} = \dfrac{125}{(1 - q)^{2}} = \dfrac{125}{(1 - 6)^{2}} = \dfrac{125}{25} = 5$

Значит, $b_{3} = b_{1}q^{2} = 5 \cdot 6^{2} = 180$

Ответ: $180$