Question

Упростите выражение ( обязательно с решением )$\frac{cos2\beta -cos6\beta}{sin6\beta -sin2\beta} + tg2\beta$

Answer 1

$\dfrac{\cos 2\beta - \cos 6\beta }{\sin 6\beta - \sin2\beta } + \text{tg} \ 2\beta = \dfrac{-2\sin\dfrac{2\beta -6\beta }{2}\sin\dfrac{2\beta + 6\beta }{2} }{2\sin\dfrac{6\beta -2\beta }{2}\cos\dfrac{6\beta + 2\beta }{2} } + \text{tg} \ 2\beta=\\= \dfrac{\sin2\beta \sin4\beta }{\sin2\beta \cos4\beta } + \text{tg} \ 2\beta= \text{tg}\ 4\beta + \text{tg} \ 2\beta = \dfrac{\sin(4\beta + 2\beta )}{\cos4\beta \cos 2\beta } = \dfrac{\sin 6\beta}{\cos4\beta \cos 2\beta}$

Воспользуйтесь формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2\sin \dfrac{\alpha \pm \beta }{2} \cos \dfrac{\alpha \mp \beta }{2}$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \dfrac{\alpha - \beta }{2} \cos \dfrac{\alpha + \beta }{2}$

$\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \dfrac{\alpha - \beta }{2} \sin \dfrac{\alpha + \beta }{2}$

$\text{tg}\ \alpha \pm \text{tg} \ \beta = \dfrac{\sin (\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }$