Question

Не вычисляя корней уравнения
х^2– 3х – 2 = 0, найдите:
x1^3+x2^3

Answer 1

$x^{2} - 3x - 2 = 0$

Воспользуемся теоремой Виета: для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту, взятого с противоположным знаком, а произведение корней равно третьему (свободному) коэффициенту данного уравнения.

Для заданного уравнения имеем:

$\left\{\begin{array}{ccc}x_{1} + x_{2} = 3,\\x_{1} \cdot x_{2} = -2\\\end{array}\right$

Найдем значение выражения $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$, используя формулу суммы кубов двух выражений: $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}).$

Имеем:

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2})(x_{1}^{2} - x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}) = (x_{1} + x_{2})(x_{1}^{2} +2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} - 3x_{1}x_{2}) =\\\\= (x_{1} + x_{2})((x_{1} + x_{2})^{2} - 3x_{1}x_{2})$

Заменим $x_{1} + x_{2}$ на $3$ и $x_{1}x_{2}$ на $-2:$

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 3 \cdot(3^{2} - 3 \cdot (-2))= 3 \cdot 15 = 45$

Ответ: 45.