Question

Тело движется по закону h=15+20t-4t^2. Найдите максимальную высоту на которую может поднятся тело и на какой секунде это произойдет.(Пожалуйста все подробно)

Answer 1

1 способ

Имеем закон $h(t) = 15 + 20t - 4t^{2}$, который можем переписать так:

$f(x) = -4x^{2} + 20x + 15$ — квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз. Очевидно, что максимальным значением этой функции (высоты) будет вершина параболы.

Найдем координаты вершины параболы.

$x_{0} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{20}{8} = 2,5$ — время в секундах.

$y_{0} = -4 \cdot (2,5)^{2} + 20 \cdot 2,5 + 15 = -25 + 50 + 15 = 40$ — высота в метрах.

Следовательно, $h = 40$ м и $t = 2,5$ с.

2 способ

Имеем закон $h(t) = 15 + 20t - 4t^{2}$. Найдем производную и вычислим критические точки, приравняв ее к нулю.

$h'(t) = 20 - 8t$

Найдем $h'(t) = 0$, то есть $20 - 8t = 0; \ t = 2,5$ с.

Следовательно, $h(2,5)= -4 \cdot (2,5)^{2} + 20 \cdot 2,5 + 15 = -25 + 50 + 15 = 40$ м.

Ответ: $h = 40$ м и $t = 2,5$ с.