Question

Выяснить сходимость несобственного интеграла

Answer 1

$xsin^22x=0=>x=0\;\;\;\;sin2x=0\\ \left\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{\pi n}{2}$

Значит особые точки $0; \dfrac{\pi}{2}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x+4}{xsin^22x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x+4}{x\cdot(2x)^2}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x+4}{4x^3}=\infty$

$f(x)=\dfrac{x+4}{xsin^22x}\\ \int \limits_0^3f(x)dx= \int \limits_0^1f(x)dx+ \int \limits_1^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx+ \int \limits_\frac{\pi}{2}^3f(x)dx$

$f(x)\geq 0\;\forall\;x\in[0;3]$, а значит если хотя бы один из интегралов в сумме расходится, то и исходный интеграл расходится.

$f(x)\limits_{x\to 0}\sim \dfrac{4}{x\cdot (2x)^2}=\dfrac{1}{x^3}=\dfrac{1}{(x-0)^3}\\ 3>1$

А значит $\int\limits_0^1f(x)dx$ расходится по степенному признаку.

А значит и исходный интеграл расходится