Question

Даю 50 баллов . Помогите решить интегралы. ​

Answer 1

$1. \ \int\limits {\dfrac{2x \ dx}{x\sqrt{7 - x^{2}} } } = 2\int\limits {\dfrac{ dx}{\sqrt{(\sqrt{7})^{2} - x^{2}} } } = 2\arcsin\dfrac{x}{\sqrt{7}} +C$

$2. \ \int\limits {\dfrac{dx}{(x + 8)^{2} - 16x} } =\int\limits {\dfrac{dx}{x^{2} + 8^{2}} } = \dfrac{1}{8} \text{arctg}\dfrac{x}{8} + C$

$3. \ \int\limits {\dfrac{dx}{64 -11x^{2}} } = \int\limits{\dfrac{dx}{-11\left(x^{2} - \dfrac{64}{11} \right)} } = -\dfrac{1}{11}\int\limits{\dfrac{dx}{x^{2} - \left(\dfrac{8}{\sqrt{11}}\right)^{2}}$$= -\dfrac{1}{11} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{2 \cdot 8}{\sqrt{11}}\right)} \cdot \ln \left| \dfrac{x - \dfrac{8}{\sqrt{11}} }{x + \dfrac{8}{\sqrt{11}}} \right| +C = -\dfrac{\sqrt{11}}{176} \cdot \ln \left| \dfrac{\sqrt{11}x - 8}{\sqrt{11}x + 8} \right|+C$

$4. \ \int\limits^3_{-2} {(6x^{2} - 36x^{3} + 4)} \, dx = (2x^{3} - 9x^{4} + 4x) |^{3}_{-2} = 2\cdot 3^{3} - 9\cdot 3^{4} + 4\cdot 3 -\\- (2 \cdot (-2)^{3} - 9\cdot (-2)^{4} + 4\cdot (-2)) = -495$

$5. \ \int\limits^1_{-1} {\left(\dfrac{5}{x^{2}} + 6 - 3\sqrt[4]{x}\right) } \, dx$

Найдем интеграл по частям:

а) $\int\limits^{1}_{-1} {\dfrac{5}{x^{2}} } \, dx$

Данный интеграл на промежутке $[-1; \ 1]$ расходится, поэтому

$\int\limits^{1}_{-1} {\dfrac{5}{x^{2}} } \, dx = \infty$

б) $\int\limits^1_{-1} {6} \, dx = 6x |^{1}_{-1} = 6 \cdot 1 - 6 \cdot (-1) = 12$

в) $\int\limits^{1}_{-1} {3\sqrt[4]{x}} \, dx = \dfrac{12\sqrt[4]{x^{5}}}{5} \ \bigg| _{-1}^{1} = \dfrac{12}{5} - \dfrac{12\sqrt[4]{-1}}{5}$

Следовательно,  $\int\limits^1_{-1} {\left(\dfrac{5}{x^{2}} + 6 - 3\sqrt[4]{x}\right) } \, dx = \infty + 9\dfrac{3}{5} + \dfrac{12\sqrt{i}}{5}$