Question

Типовой расчёт,помогите!

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2+6x-1}{10x^2+7x-5}= \lim_{x \to \infty} \frac{5+\frac{6}{x}-\frac{1}{x^2} }{10+\frac{7}{x}-\frac{5}{x^2} }=\frac{5+0+0}{10+0+0 }=\frac{5}{10}=0.5$

2)$\lim_{x \to -0.5} \frac{6x^2+5x+1}{2x^2-x-1}= \lim_{x \to -0.5} \frac{(x+0.5)(6x+2)}{(x+0.5)(2x-2)}=\lim_{x \to -0.5} \frac{(6x+2)}{(2x-2)} = \frac{-6*0.5+2}{-0.5*2-2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3x+4}-2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{3x+4}-2)(\sqrt{3x+4}+2)}{2x(\sqrt{3x+4}+2)}=\lim_{x \to 0} \frac{3x+4-4}{2x(\sqrt{3x+4}+2)}=\lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x(\sqrt{3x+4}+2)}=\lim_{x \to 0} \frac{3}{2(\sqrt{3x+4}+2)}=\frac{3}{2(\sqrt{3*0+4}+2)}=\frac{3}{2(\sqrt{4}+2)}=\frac{3}{8}$4)

$\lim_{x \to 0} (1+sin3x)^{\frac{1}{x} }= \lim_{x \to 0} (1+sin3x)^{\frac{sin3x}{sin3x*x} }$

По второму замечательному пределу:

$\lim_{x \to 0} (1+sin3x)^{\frac{sin3x}{sin3x*x} } = \lim_{x \to 0} e^{\frac{sin3x}{x} }=e^{ \lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{x} }=e^{ \lim_{x \to 0} \frac{3sin3x}{3x} }$

По первому замечательному пределу:

$e^{ \lim_{x \to 0} \frac{3sin3x}{3x} }=e^{ \lim_{x \to 0} 3*1 }=e^{ \lim_{x \to 0} 3}=e^3$